harmonische Teilung

harmonische Teilung,

 

1) Mathematik: Bezeichnung für die Teilung einer Strecke A̅B̅ durch einen inneren und einen äußeren Punkt im gleichen Verhältnis; A̅B̅ ist durch die Punkte C und D harmonisch geteilt, wenn die Verhältnisgleichung A̅C̅ : B̅C̅ = A̅D̅ : B̅D̅ erfüllt ist. A, B, C, D heißen harmonische Punkte; vier durch sie gelegte Strahlen mit dem gleichen Ausgangspunkt nennt man harmonische Strahlen (jede beliebige Gerade wird von ihnen wieder in harmonischen Punkten A₁, B₁, C₁, D₁ geschnitten). A̅B̅ heißt das harmonische Mittel zwischen A̅C̅ und A̅D̅; das Doppelverhältnis harmonischer Punkte ist —1. Entsprechend bezeichnet man vier Geraden beziehungsweise Ebenen eines Büschels als harmonisch, wenn ihr Doppelverhältnis —1 ist.

 

 2) Musiktheorie: die Teilung der Länge a einer schwingenden Saite bezüglich eines vorgegebenen Saitenstücks der Länge c nach der Formel b = (a + c )/ 2 (entspricht dem harmonischen Mittelwert der zugehörigen Frequenzen). Die harmonische Teilung einer Oktave (Verhältnis der Saitenlängen c : a = 1 : 2 beziehungsweise 2 : 4) ergibt das Verhältnis 2 : 3 : 4 der Frequenzen und damit die Quinte (2 : 3) und die Quarte (3 : 4). Die harmonische Teilung der Quinte ergibt das Verhältnis 4 : 5 : 6 eines Durdreiklangs mit großer Terz (4 : 5) und kleiner Terz (5 : 6). Der Molldreiklang ergibt sich durch Bildung des harmonischen Mittels

 

wobei sich a : c wie 2 : 3 verhält und also einer Quinte entspricht.